MATEMÁTICAS: MONOMIOS Y POLINOMIOS

Para iniciar la unidad debemos saber el significado de expresión algebraica. 


EXPRESIÓN ALGEBRAICA: combinación de números y letras unidos por signos de operaciones aritméticas. A las letras se les llaman variables, incógnitas o indeterminadas. 

VALOR NUMÉRICO Y EXPRESIONES EQUIVALENTES

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las variables por números determinados y efectuarlas. 


Dos expresiones son equivalentes si los valores numéricos que toman para cualquier valor de sus variables son iguales.

MONOMIOS

Expresión algebraica formada por un coeficiente (número) y una parte literal (variables con sus exponentes naturales).


Ejemplo:

El grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus variables.

Ejemplo: 

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

Ejemplo: 2x, 8x

Dos monomios son iguales cuando el coeficiente y la parte literal son las mismas.

Ejemplo: 2x,2x

POLINOMIOS

Un polinomio es la suma de monomios no semejantes. Puede tener un término independiente (de grado 0). 

Ejemplo: 32x +y +23

SUMA Y DIFERENCIA DE POLINOMIOS

Para sumar o restar monomios semejantes, se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. 

Para sumar o restar polinomios, se suman o restan los términos semejantes y se deja indicada la suma o resta de los términos no semejantes. 

PRODUCTO DE POLINOMIOS

Para multiplicar monomios, se multiplican los coeficientes y las potencias de la misma base.

Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada término del primero por cada término del segundo y se reducen los términos semejantes.

El grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los polinomios factores.

Si en un polinomio varios términos comparten una o más variables, aplicando la propiedad distributiva se puede extraer un monomio como factor común.

POTENCIAS DE POLINOMIOS. IDENTIDADES NOTABLES

La potencia de exponente natural de un monomio o polinomio se calcula multiplicando la base tantas veces como indica el exponente. 

Ejemplo (Identidades notables):

ECUACIONES Y SISTEMAS

ECUACIONES

Para empezar la lección tenemos que saber lo que significa igualdad en matemáticas.


IGUALDAD: dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual (=). Pueden existir varios tipos de igualdades: 


1) IDENTIDADES: 


-> Numéricas: 3+2=5


-> Algebraicas: x+2=2+x


2) ECUACIONES: se usa un número determinado de valores y se clasifican según su grado. 


SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN


Valores que al sustituirlos por la incógnita cumplen la igualdad. 


ECUACIONES EQUIVALENTES 


Son equivalentes si tienen la misma solución.


FORMAS DE OBTENER ECUACIONES EQUIVALENTES


1ª Forma: Sumando o restando a ambos miembros de la ecuación un mismo número.


2ª Forma: Multiplicando o dividiendo los miembros de un número por otro número. 


PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO


1º) Quitar denominadores, si los hay (se multiplica los dos miembros de la ecuación por el m.c.m de los denominadores.


2º) Quitar paréntesis, si los hay. 


3º) Pasar las variables a un lado de la ecuación, y los números a otro.


4º) Simplificar cada miembro de la ecuación. 


5º) Despejar la x para obtener el resultado de la ecuación.


6º) Comprobar (sustituir el resultado de la variable).

LA ECUACIÓN BICUADRADA 

 

 

Para resolver este tipo de ecuaciones existen tres pasos: 

1) Cambio de variable 

2) Se resuelve la ecuación 

3) Deshacer el cambio de variable. 

Ejemplo: 

 

ECUACIONES RACIONALES

Tienen la incógnita en el denominador.

Ejemplo:

 

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: 

 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

 Resolvemos la ecuación obtenida:

 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

 Solución

MÉTODO DE REDUCCIÓN:

En este método se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

 Se resuelve la ecuación resultante.

 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

SISTEMAS NO LINEALES

Las variables están elevadas a algún exponente; se resuelve por el método de sustitución.

Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado.

La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:

 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.

y = 7 − x

 Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.

x² + (7 − x)² = 25

 Se resuelve la ecuación resultante.

x² + 49 − 14x + x² = 25

2x² − 14x + 24 = 0

x² − 7x + 12 = 0

 Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.

x = 3           y = 7 − 3        y = 4

x = 4           y = 7 − 4        y = 3