ECUACIONES Y SISTEMAS

ECUACIONES

Para empezar la lección tenemos que saber lo que significa igualdad en matemáticas.


IGUALDAD: dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual (=). Pueden existir varios tipos de igualdades: 


1) IDENTIDADES: 


-> Numéricas: 3+2=5


-> Algebraicas: x+2=2+x


2) ECUACIONES: se usa un número determinado de valores y se clasifican según su grado. 


SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN


Valores que al sustituirlos por la incógnita cumplen la igualdad. 


ECUACIONES EQUIVALENTES 


Son equivalentes si tienen la misma solución.


FORMAS DE OBTENER ECUACIONES EQUIVALENTES


1ª Forma: Sumando o restando a ambos miembros de la ecuación un mismo número.


2ª Forma: Multiplicando o dividiendo los miembros de un número por otro número. 


PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO


1º) Quitar denominadores, si los hay (se multiplica los dos miembros de la ecuación por el m.c.m de los denominadores.


2º) Quitar paréntesis, si los hay. 


3º) Pasar las variables a un lado de la ecuación, y los números a otro.


4º) Simplificar cada miembro de la ecuación. 


5º) Despejar la x para obtener el resultado de la ecuación.


6º) Comprobar (sustituir el resultado de la variable).

LA ECUACIÓN BICUADRADA 

 

 

Para resolver este tipo de ecuaciones existen tres pasos: 

1) Cambio de variable 

2) Se resuelve la ecuación 

3) Deshacer el cambio de variable. 

Ejemplo: 

 

ECUACIONES RACIONALES

Tienen la incógnita en el denominador.

Ejemplo:

 

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: 

 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

 Resolvemos la ecuación obtenida:

 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

 Solución

MÉTODO DE REDUCCIÓN:

En este método se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

 Se resuelve la ecuación resultante.

 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

SISTEMAS NO LINEALES

Las variables están elevadas a algún exponente; se resuelve por el método de sustitución.

Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado.

La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:

 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.

y = 7 − x

 Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.

x² + (7 − x)² = 25

 Se resuelve la ecuación resultante.

x² + 49 − 14x + x² = 25

2x² − 14x + 24 = 0

x² − 7x + 12 = 0

 Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.

x = 3           y = 7 − 3        y = 4

x = 4           y = 7 − 4        y = 3