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jueves, 7 de junio de 2012

Probabilidad

Teoría de probabilidades

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.

Suceso

Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).

Tipos de sucesos

Suceso elemental

Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.

Suceso aleatorio

Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Suceso seguro

Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).

Suceso imposible

Suceso imposible, Conjunto vacio, es el que no tiene ningún elemento.
Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.

Sucesos compatibles

Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

Sucesos incompatibles

Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.

Sucesos independientes

Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Sucesos dependientes

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Suceso contrario

El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A., Se denota por suceso contrario.

Unión de sucesos

La unión de sucesos, A unión B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.

Intersección de sucesos

La intersección de sucesos, A intersección B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B.

Diferencia de sucesos

La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.
Propiedad de la diferencia de sucesos

Sucesos contrarios

El suceso suceso contrario = E - A se llama suceso contrario o complementario de A.

Axiomas de la probabilidad

1.0 ≤ p(A) ≤ 1
2.p(E) = 1
3.p(A unión B) = p(A) + p(B)

Propiedades de la probabilidad

1 Probabilidad del suceso contrario
2 Probabilidad del suceso imposible
3 unión
4 unión
5 Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces:
unión
6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn} entonces:
unión

Ley de Laplace

Laplace

Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles

A intersección B = Conjunto vacio
p(A unión B) = p(A) + p(B)

Probabilidad de la unión de sucesos compatibles

A intersección B ≠ Conjunto vacio
p(A unión B) = p(A) + p(B) − p(A intersección B)

Probabilidad condicionada

condicionada

Probabilidad de la intersección de sucesos independientes

p(A intersección B) = p(A) · p(B)

Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes

p(A intersección B) = p(A) · p(B/A)

Teorema de la probabilidad total

Si A 1, A 2 ,... , A n son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unión es el espacio muestral (A 1 unión A 2 unión... unión A n = E) y B es otro suceso, resulta que::
p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )

Teorema de Bayes

Si A 1, A 2 ,... , A n son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unión es el espacio muestral (A 1 unión A 2 unión... unión A n = E) y B es otro suceso, resulta que::
Bayes

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