Probabilidad

Teoría de probabilidades

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.

Suceso

Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).

Tipos de sucesos

Suceso elemental

Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.

Suceso aleatorio

Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Suceso seguro

Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).

Suceso imposible

Suceso imposible, , es el que no tiene ningún elemento.

Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.

Sucesos compatibles

Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

Sucesos incompatibles

Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.

Sucesos independientes

Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Sucesos dependientes

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Suceso contrario

El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A., Se denota por .

Unión de sucesos

La unión de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.

Intersección de sucesos

La intersección de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B.

Diferencia de sucesos

La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.

Sucesos contrarios

El suceso = E - A se llama suceso contrario o complementario de A.

Axiomas de la probabilidad

1.0 ≤ p(A) ≤ 1

2.p(E) = 1

3.p(A B) = p(A) + p(B)

Propiedades de la probabilidad

1

2

3

4

5 Si A₁, A₂, ..., A_k son incompatibles dos a dos entonces:

6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x₁, x₂, ..., x_n} entonces:

Ley de Laplace

Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles

A B =

p(A B) = p(A) + p(B)

Probabilidad de la unión de sucesos compatibles

A B ≠

p(A B) = p(A) + p(B) − p(A B)

Probabilidad condicionada

Probabilidad de la intersección de sucesos independientes

p(A B) = p(A) · p(B)

Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes

p(A B) = p(A) · p(B/A)

Teorema de la probabilidad total

Si A ₁, A ₂ ,... , A _n son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unión es el espacio muestral (A ₁ A ₂ ... A _n = E) y B es otro suceso, resulta que::

p(B) = p(A₁) · p(B/A₁) + p(A₂) · p(B/A₂ ) + ... + p(A_n) · p(B/A_n )

Teorema de Bayes

Si A ₁, A ₂ ,... , A _n son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unión es el espacio muestral (A ₁ A ₂ ... A _n = E) y B es otro suceso, resulta que::

FUNCIONES

1.) RELACIÓN Y DEPENDENCIA ENTRE CONJUNTOS Y MAGNITUDES

Una correspondencia entre dos conjuntos es cualquier relación que se establece entre los elementos de esos conjuntos. En una correspondencia se llama conjunto inicial al conjunto de partida y conjunto final, al conjunto de llegada.

EJEMPLO: En este conjunto y correspondencia a cada número le corresponde una letra. 

1.1) FORMAS DE EXPRESAR UNA CORRESPONDENCIA

Se pueden expresar con enunciados, tablas, gráficas, fórmulas y expresiones algebraicas. 

2.) FUNCIONES: DOMINIO Y RECORRIDO

Una correspondencia entre dos conjuntos se llama función si cada elemento del primero se relaciona, como máximo, con un único elemento del segundo.

DOMINIO: valores posibles de la x. 

RECORRIDO: valores que toma la y. 

EJEMPLO FUNCIÓN:

2.1) TIPOS DE DISCONTINUIDADES

-> EVITABLE: 

                                         

-> INEVITABLE:

  - SALTO INFINITO:

  - SALTO FINITO: 

3.) VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN

Si tenemos una función continua en [a, b]

Tasa de variación (TV)= [a, b]= f (b) - f (a)


4.) FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES


4.1) FUNCIONES CRECIENTES


Si tomamos dos valores, a y b, a < b, entonces f(a) < f(b), la función toma valores cada vez mayores. 


EJEMPLO:




4.2) FUNCIONES DECRECIENTES


Si tomamos dos valores a y b, a < b, entonces f(a) > f(b), la función toma valores cada vez menores. 


EJEMPLO:

5.)FUNCIONES LINEALES


Son las funciones de tipo y= mx+n 


Nota1: 
Las de tipo y=m·x se llaman de proporcionalidad directa o lineales.


Nota2: 
Las de tipo y= mx+n se llaman afines.


-> El valor de la m se llama pendiente de la recta y nos informa de la variación de la y cuando aumenta una cantidad de la x. 


-> A la n se le llama ordenada en el origen.


La representación gráfica de estas funciones es una recta. 


Si m > 0 la función es creciente. 
Si m < 0 la función es decreciente. 


5.1) POSICIONES RELATIVAS DE 2 RECTAS





6.) FUNCIONES CUADRÁTICAS


Son las funciones cuya expresión 

MATEMÁTICAS: MONOMIOS Y POLINOMIOS

Para iniciar la unidad debemos saber el significado de expresión algebraica. 


EXPRESIÓN ALGEBRAICA: combinación de números y letras unidos por signos de operaciones aritméticas. A las letras se les llaman variables, incógnitas o indeterminadas. 

VALOR NUMÉRICO Y EXPRESIONES EQUIVALENTES

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las variables por números determinados y efectuarlas. 


Dos expresiones son equivalentes si los valores numéricos que toman para cualquier valor de sus variables son iguales.

MONOMIOS

Expresión algebraica formada por un coeficiente (número) y una parte literal (variables con sus exponentes naturales).


Ejemplo:

El grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus variables.

Ejemplo: 

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

Ejemplo: 2x, 8x

Dos monomios son iguales cuando el coeficiente y la parte literal son las mismas.

Ejemplo: 2x,2x

POLINOMIOS

Un polinomio es la suma de monomios no semejantes. Puede tener un término independiente (de grado 0). 

Ejemplo: 32x +y +23

SUMA Y DIFERENCIA DE POLINOMIOS

Para sumar o restar monomios semejantes, se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. 

Para sumar o restar polinomios, se suman o restan los términos semejantes y se deja indicada la suma o resta de los términos no semejantes. 

PRODUCTO DE POLINOMIOS

Para multiplicar monomios, se multiplican los coeficientes y las potencias de la misma base.

Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada término del primero por cada término del segundo y se reducen los términos semejantes.

El grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los polinomios factores.

Si en un polinomio varios términos comparten una o más variables, aplicando la propiedad distributiva se puede extraer un monomio como factor común.

POTENCIAS DE POLINOMIOS. IDENTIDADES NOTABLES

La potencia de exponente natural de un monomio o polinomio se calcula multiplicando la base tantas veces como indica el exponente. 

Ejemplo (Identidades notables):

ECUACIONES Y SISTEMAS

ECUACIONES

Para empezar la lección tenemos que saber lo que significa igualdad en matemáticas.


IGUALDAD: dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual (=). Pueden existir varios tipos de igualdades: 


1) IDENTIDADES: 


-> Numéricas: 3+2=5


-> Algebraicas: x+2=2+x


2) ECUACIONES: se usa un número determinado de valores y se clasifican según su grado. 


SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN


Valores que al sustituirlos por la incógnita cumplen la igualdad. 


ECUACIONES EQUIVALENTES 


Son equivalentes si tienen la misma solución.


FORMAS DE OBTENER ECUACIONES EQUIVALENTES


1ª Forma: Sumando o restando a ambos miembros de la ecuación un mismo número.


2ª Forma: Multiplicando o dividiendo los miembros de un número por otro número. 


PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO


1º) Quitar denominadores, si los hay (se multiplica los dos miembros de la ecuación por el m.c.m de los denominadores.


2º) Quitar paréntesis, si los hay. 


3º) Pasar las variables a un lado de la ecuación, y los números a otro.


4º) Simplificar cada miembro de la ecuación. 


5º) Despejar la x para obtener el resultado de la ecuación.


6º) Comprobar (sustituir el resultado de la variable).

LA ECUACIÓN BICUADRADA 

 

 

Para resolver este tipo de ecuaciones existen tres pasos: 

1) Cambio de variable 

2) Se resuelve la ecuación 

3) Deshacer el cambio de variable. 

Ejemplo: 

 

ECUACIONES RACIONALES

Tienen la incógnita en el denominador.

Ejemplo:

 

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: 

 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

 Resolvemos la ecuación obtenida:

 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

 Solución

MÉTODO DE REDUCCIÓN:

En este método se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

 Se resuelve la ecuación resultante.

 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

SISTEMAS NO LINEALES

Las variables están elevadas a algún exponente; se resuelve por el método de sustitución.

Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado.

La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:

 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.

y = 7 − x

 Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.

x² + (7 − x)² = 25

 Se resuelve la ecuación resultante.

x² + 49 − 14x + x² = 25

2x² − 14x + 24 = 0

x² − 7x + 12 = 0

 Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.

x = 3           y = 7 − 3        y = 4

x = 4           y = 7 − 4        y = 3